☛ Étudier la coplanarité de trois vecteurs : cas de vecteurs non coplanaires

Énoncé

Soit une base   $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$  de l'espace. On donne les vecteurs  $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ ,  $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ et  $\overrightarrow{w}\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ . Les vecteurs  $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont-ils coplanaires ?

Solution

Les vecteurs $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ ne sont pas colinéaires.
On cherche l'existence de réels $a$ et $b$ tels que  $\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{v}+b\overrightarrow{w}$ ce qui équivaut à :  $\{\begin{array}{l}0=-2a-b\\ -1=-a-b\\ 1=3a-b\end{array}$ soit  $\{\begin{array}{l}0=2a+b\\ 1=a+b\\ 1=3a-b\end{array}$ .
On résout le système partiel formé des deux premières équations :  $\{\begin{array}{l}0=2a+b\\ 1=a+b\end{array}$ .
En soustrayant les deux équations membre à membre, on obtient :  $a=-1$ .
Puis, en remplaçant cette valeur dans l'une de ces deux équations, on obtient $b=2$ .
Enfin, on remplace ces deux valeurs dans l'équation restante :  $3a-b=3\times (-1)-2=-3-2=-5\ne 1$ .
Les valeurs trouvées de  $a$ et  $b$ ne conviennent pas, donc le système n'admet pas de couple solution. 
Conclusion : il n'existe pas deux réels  $a$ et $b$ tels que  $\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{v}+b\overrightarrow{w}$ .
On ne peut pas exprimer le vecteur $\overrightarrow{u}$ comme combinaison linéaire des vecteurs $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ .
Les trois vecteurs  $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ ne sont pas coplanaires.