☛ Étudier la coplanarité de trois vecteurs : cas de vecteurs non coplanaires

Énoncé

Soit une base   \(\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\)  de l'espace. On donne les vecteurs  \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 0 \\-1\\ 1\\\end{pmatrix}\) ,  \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -2 \\-1\\ 3\\\end{pmatrix}\) et  \(\overrightarrow{w}\begin{pmatrix} -1 \\-1\\ -1\\\end{pmatrix}\) . Les vecteurs  \(\overrightarrow{u}\) , \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) sont-ils coplanaires ?

Solution

Les vecteurs \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) ne sont pas colinéaires.
On cherche l'existence de réels \(a\) et \(b\) tels que  \(\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{v}+b\overrightarrow{w}\) ce qui équivaut à :  \(\begin{cases} 0=-2a-b \\ -1=-a-b \\ 1=3a-b\end{cases}\) soit  \(\begin{cases} 0=2a+b \\ 1=a+b \\ 1=3a-b\end{cases}\) .
On résout le système partiel formé des deux premières équations :  \(\begin{cases} 0=2a+b \\ 1=a+b\end{cases}\) .
En soustrayant les deux équations membre à membre, on obtient :  \(a=-1\) .
Puis, en remplaçant cette valeur dans l'une de ces deux équations, on obtient \(b=2\) .
Enfin, on remplace ces deux valeurs dans l'équation restante :  \(3a-b=3\times (-1)-2=-3-2=-5 \neq 1\) .
Les valeurs trouvées de  \(a\) et  \(b\) ne conviennent pas, donc le système n'admet pas de couple solution. 
Conclusion : il n'existe pas deux réels  \(a\) et \(b\) tels que  \(\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{v}+b\overrightarrow{w}\) .
On ne peut pas exprimer le vecteur \(\overrightarrow{u}\) comme combinaison linéaire des vecteurs \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) .
Les trois vecteurs  \(\overrightarrow{u}\) , \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) ne sont pas coplanaires.